求所有正整数n，使得n2(n-1)+1是完全平方数。
然后，开始写解题思路——
首先，我们设n2(n-1)+1=m2(m∈n+)．
则n2(n-1)=(m+1)(m-1)．
而当n=1，2，3，4时，n2(n-1)+1均不是完全平方数．
故n>4，16i(m+1)(m-1)．
而m+1、m-1奇偶性相同，故m+1、m-1都是偶数，m是奇数．
【我好像大概懂了】
【你确定？】
【自信点，把“懂了”改成“不懂”】
……
设m=2k-1(k∈n+)．
n2(n-1)=2k(2k-2)．
从而，n2(n-3)=k(k-1)．
k与k-1具有不同的奇偶性
故2(n-3)只能是其中之一的约数．
又n2(n-3)=k(k-1)≠0，
因此，2(n-3)≤3
进而，n≥k-1．
故2(n-3)≤k≤n+1．
由函数性质或数学归纳法知
当n≥6时2(n-3)>n+1．
因此，n≤5．
而n≥5，故n=5．
此时n2(n-1)+1=81是完全平方数，满足要求．
综上，所求所有正整数n=5．
【答案还真是n=5？】
【大伙快来瞧瞧殷越的答案，看看有没有错误】
【我也想找茬，可是也得看得懂才行啊】
【刚刚那个省队队员呢？过来掌掌眼啊】
【我在，但是我还得花点时间消化这个解题过程】
【消化完了没】
【我感觉没什么问题】
【真的吗？我不信】
……
屏幕前，连麦网友【牛顿顿顿吃牛】反反复复核验答案，陷入了沉思。
半晌后，他仿佛突然从沉睡中苏醒，兴奋地说道：
“没错没错，这个过程没错。”
“谢谢谢谢，谢谢殷越。”……
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首先，我们设n2(n-1)+1=m2(m∈n+)．
则n2(n-1)=(m+1)(m-1)．
而当n=1，2，3，4时，n2(n-1)+1均不是完全平方数．
故n>4，16i(m+1)(m-1)．
而m+1、m-1奇偶性相同，故m+1、m-1都是偶数，m是奇数．
【我好像大概懂了】
【你确定？】
【自信点，把“懂了”改成“不懂”】
……
设m=2k-1(k∈n+)．
n2(n-1)=2k(2k-2)．
从而，n2(n-3)=k(k-1)．
k与k-1具有不同的奇偶性
故2(n-3)只能是其中之一的约数．
又n2(n-3)=k(k-1)≠0，
因此，2(n-3)≤3
进而，n≥k-1．
故2(n-3)≤k≤n+1．
由函数性质或数学归纳法知
当n≥6时2(n-3)>n+1．
因此，n≤5．
而n≥5，故n=5．
此时n2(n-1)+1=81是完全平方数，满足要求．
综上，所求所有正整数n=5．
【答案还真是n=5？】
【大伙快来瞧瞧殷越的答案，看看有没有错误】
【我也想找茬，可是也得看得懂才行啊】
【刚刚那个省队队员呢？过来掌掌眼啊】
【我在，但是我还得花点时间消化这个解题过程】
【消化完了没】
【我感觉没什么问题】
【真的吗？我不信】
……
屏幕前，连麦网友【牛顿顿顿吃牛】反反复复核验答案，陷入了沉思。
半晌后，他仿佛突然从沉睡中苏醒，兴奋地说道：
“没错没错，这个过程没错。”
“谢谢谢谢，谢谢殷越。”……
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